"千僖難題"之一：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題 在一個周六的晚上,，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安,，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人,。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲,。不費一秒鐘,，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的,。然而,，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳,，一個個地審視每一個人,，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多,。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子,。與此類似的是，如果某人告訴你,，數(shù)13,，717，421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積,，你可能不知道是否應(yīng)該相信他,，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的,。不管我們編寫程序是否靈巧,，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解,，被看作邏輯和計算機科學(xué)中最突出的問題之一,。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。 "千僖難題"之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強有力的辦法,?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用,，使得它可以用許多不同的方式來推廣,；最終導(dǎo)至一些強有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展,。不幸的是,，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來,。在某種意義下,，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合,。 "千僖難題"之三：龐加萊(Poincare)猜想 如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶,，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面,，使它慢慢移動收縮為一個點,。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上,，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面,，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說,，蘋果表面是"單連通的"，而輪胎面不是,。大約在一百年以前,，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫,，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應(yīng)問題,。這個問題立即變得無比困難，從那時起,，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗,。 "千僖難題"之四：黎曼(Riemann)假設(shè) 有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如,，2,3,5,7,等等,。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用,。在所有自然數(shù)中,，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式,；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到,，素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài),。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上,。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過,。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。 "千僖難題"之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口 量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的,。大約半個世紀(jì)以前,，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系,?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福,、歐洲粒子物理研究所和筑波,。盡管如此，他們的既描述重粒子,、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解,。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認,、并且在他們的對于"夸克"的不可見性的解釋中應(yīng)用的"質(zhì)量缺口"假設(shè),，從來沒有得到一個數(shù)學(xué)上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進根本上的新觀念,。 "千僖難題"之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信,，無論是微風(fēng)還是湍流,，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預(yù)言,。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的,，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數(shù)學(xué)理論作出實質(zhì)性的進展,，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘,。 "千僖難題"之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想 數(shù)學(xué)家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答,，但是對于更為復(fù)雜的方程,，這就變得極為困難。事實上,，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,，希爾伯特第十問題是不可解的,，